Theta constants, riemann surfaces and the modular group.影印本

古典的分析和数论间有着令人难以置信的关联。例如, 解析数论中包含许多由解析函数估值得出的渐近表达式的例子, 像素数定理的证明。在组合数论中, 数论量的精确公式是由解析函数间的关系得出的。椭圆函数——特别是θ函数——是这方面的重要函数类, 这在雅可比的《椭圆函数论新基础》一书中已经阐述得很清楚。θ函数与黎曼面和模群Gamma=PSL (2,Z) 相关联也早已久为人知, 这提供了深入了解数论的又一种途径。Farkas和Kra这两位著名的黎曼面理论和θ函数分析方面的大师, 利用与主同余子群Gamma (k) 相关的黎曼面上的函数论发现了有趣的组合等式。例如, 作者利用这种方法得到了拉马努金发现的关于分拆函数的同余式, 主要是以一种以上的方法构造同一函数。作者也得到雅可比关于方法数的著名结果 (这个整数可被表示为四平方之和) 的一种变体, 即在过程中将平方改为三角数可以得到一个更为整洁的结果。近来的趋势是用代数几何的思想和方法来研究θ函数和数论, 这使得该领域取得了长足进步。但是, 作者选择停留在古典观点上。因此, 他们的陈述和证明都非常具体。熟悉θ函数和数论的代数几何方法的数学家们, 会在书中发现许多有趣想法, 以及关于新老结果的详尽解释和推导。该书最精彩的部分包括对θ常数恒等式的系统研讨, 由模群子群表示的曲面单值化, 分拆等式, 以及自守函数的傅立叶系数等。本书的预备知识要求对复分析有扎实的理解, 熟悉黎曼面、Fuchs群以及椭圆函数, 还要对数论感兴趣。本书包含对一些所需材料 (尤其是关于θ函数和θ常数) 的概述。读者会在本书中发现对分析和数论的古典观点的细心论述。